В. И. ВОЙТИЦКИЙ. О свойствах линеаризованной задачи Маскета с учетом поверхностного натяжения и сил гравитации.
УДК 517.984
В. И. ВОЙТИЦКИЙ. О свойствах линеаризованной задачи Маскета с учетом поверхностного натяжения и сил гравитации (русский) // Динамические системы, 2012. — том 2(30), №1-2. — С. 41–52.
В статье с помощью теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве изучаются свойства линеаризованной начально-краевой задачи Маскета. Данная задача описывает процесс фильтрации жидкости в пористой среде, находящейся вблизи равновесного состояния. Установлены достаточные условия существования единственного сильного решения эволюционной задачи напроизвольном конечном промежутке времени. Доказано, что с учетом поверхностного натяжения спектр задачи является дискретным и вещественным. В случае корректной постановки он состоит из ветви положительных собственных значений с единственной предельной точкой на бесконечности, а также не более чем из конечного числа отрицательных и нулевых собственных значений. Системасоответствующих собственных функций образует ортонормированный базис в некотором гильбертовом пространстве.
Ключевые слова: линеаризованная задача Маскета, оператор Стеклова, корректная задача Коши, генератор C0–полугруппы, самосопряженный компактный оператор, вещественный дискретный спектр, ортонормированный базис.
Ил. 1. Библиогр. 14 назв.
УДК 517.984
В. I. ВОЙТИЦЬКИЙ. Про властивостi лiнеариизованої задачi Маскета з урахуванням поверхневого натягу та сил гравiтацiї (росiйська) // Динамические системы, 2012. — том 2(30), №1-2. — С. 41–52.
У статтi за допомогою теорiї самоспряжених операторiв у гiльбертовому просторi вивчаються властивостi лiнеаризованої початково-крайової задачi Маскета. Ця задача описує процес фыльтрацiї рiдини у пористому серидовищi, яке знаходиться бiля положення стiйкої рiвноваги. Встановленi достатнi умови iснування єдиного сильного розв’язку еволюцiйної задачi на скiнченому промiжку часу. Доведено, що з урахуванням поверхневого тяжiння спектр задачi є дискретним та дiйсним. Вiн складається з гiлки додатних власних значень з єдиною граничною точкою на нескiнченостi, та, можливо, зi скiнченої кiлькостi вiд’ємних та нульових власних значень. Система вiдповiдних власних функцiй утворює ортонормаований базис у деякому гiльбертовому просторi.
Ключовi слова: лiнеаризована задача Маскета, оператор Стеклова, корректна задача Кошi, генератор C0-напiвгрупи, самоспряжений компактний оператор, дiйсний дискретний спектр, ортонормований базис.
Iл. 1. Бiблiогр. 14 назв.
MSC 2010: 35P05
V. I. VOYTITSKY. On the properties of the linearized Muskat problem with surface tension and gravity forces (Russian). Dinamicheskie Sistemy, vol. 2(30), no.1-2, 41–52 (2012).
In the article we study the properties of the linearized initial-boundary value Muskat problem by using theory of linear self-adjoint operators acting in Hilbert space. This problem describes the fluid filtration process in a porous media near the stable balance state. We find the sufficientcondition then the evolution problem has a unique strong solution on a finite time interval. We prove also that the spectrum is real and discrete if surface tension is not neglected. It consists of positive branch with limit point at infinity and, probably, finite number of negative and nulleigenvalues. The corresponding eigenfunctions form the orthonormal basis in some Hilbert space.
Keywords: linearized Muskat problem, Steklov operator, correct Cauchy problem, generator of the C0-semigroup, compact self-adjoint operator, real discrete spectrum, orthonormal basis.
