И. В. ОРЛОВ, А. В. ЦЫГАНКОВА. Исключение уравнения Якоби в многомерных вариационных задачах.

УДК 517.98+517.97

И. В. ОРЛОВ, А. В. ЦЫГАНКОВА. Исключение уравнения Якоби в многомерных вариационных задачах (русский) // Динамические системы, 2013. — Том 3(31), No.3-4. — С. 233–248.

Показано, что экстремальная задача для вариационного функционала Эйлера-Лагранжа в многомерной области в принципе может быть решена без использования уравнения Якоби. При этом один из двух возможных случаев не требует ограничения на меру области, во втором случае возникает ограничение на меру n-мерного прямоугольника, содержащего данную область. Задача рассмотрена как в классическомC¹-случае, так и в случае пространств Соболева W^1,p. Рассмотрены некоторые приложения.

Ключевые слова: вариационный функционал, уравнение Якоби, условие Лежандра, локальный экстремум, пространства Соболева, K-экстремум.

Библиогр. 27 назв.

УДК 517.98+517.97

I. В. ОРЛОВ, А. В. ЦИГАНКОВА. Виключення рiвняння Якобi в багатовимiрних варiацiйних задачах (росiйська) // Динамические системы, 2013. — Том 3(31), No.3-4. — С. 233–248.

Показано, що екстремальна задача для варiацiйного функцiоналу Ейлера–Лагранжа у багатовимiрнiй областi може бути розв’язана без використання рiвняння Якобi. При цьому один iз двох можливих випадкiв не вимагає обмеження на мiру областi, у другому випадку виникає обмеження на мiру n–мiрного прямокутника, що мiстить дану область. Задачу розглянуто як у класичному випадку, так i у випадку просторiв Соболєва W^1,p. Розглянуто деякi застосування.

Ключовi слова: варiацiйний функцiонал, рiвняння Якобi, умова Лежандра, локальний екстремум, простори Соболєва, K-екстремум.

Бiблiогр. 27 назв.

MSC 2010: 49J05, 49L99

I. V. ORLOV, A. V TSYGANKOVA. Elimination of Jacobi equation in multi-dimensional variational problems (Russian). Dinamicheskie Sistemy 3(31), No.3-4, 233–248 (2013).

It is shown that the extremal problem for the Euler-Lagrange variational functional in multi-dimensional domain can be solved, principally, without use of the Jacobi equation. In addition, one of the two possible cases does not require restriction for measure of the domain, in the second case there is a certain restriction on measure of the n–dimensional rectangle containing this domain. The problem is considered both in the classical C¹ case, and in case of Sobolev’s spaces W^{1, p}. Some applications are considered.

Keywords: variational functional, Jacobi equation, Legendre condition, local extremum, Sobolev spaces, K–extremum.

Ref. 27.