Е. М. КУЗЬМЕНКО. Компактно-аналитические свойства вариационных функционалов в пространствах Соболева W1,p функций многих переменных.
УДК 517.98:517.972
Е. М. КУЗЬМЕНКО. Компактно-аналитические свойства вариационных функционалов в пространствах Соболева W1,p функций многих переменных (русский) // Динамические системы, 2012. — том 2(30), №1-2. — С. 89–120.
Обобщаются понятия классов Вейерштрасса WKp(z), W1Kp(z) и W2Kp(z), введенные ранее И. В. Орловым и Е. В. Божонок для одномерного случая. Вводится понятие общего класса Вейерштрасса WnKp(z) над областью D ⊂ ℝn. Доказано, что принадлежность K-псевдополиномиального интегранта вариационного функционала подходящему классу Вейерштрасса WnKp(z) гарантирует n-кратную K-дифференцируемость данного фунционала в пространстве Соболева W1,p(D). Вычислена n-я K-вариация вариационного функционала. Рассмотрен ряд примеров и частных случаев.
Ключевые слова: индуктивный предел, вариационный функционал, компактная непрерывность, пространство Соболева.
Библиогр. 10 назв.
УДК 517.98:517.972
К. М. КУЗЬМЕНКО. Компактно–аналiтичнi властивостi варiацiйних функционалiв у просторах Соболева W1, функцiй багатьох змiнних (росiйська) // Динамические системы, 2012. — том 2(30), №1-2. — С. 89–120.
Узагальнюється поняття класiв Вейерштрасса WKp(z),W1Kp(z) i W2Kp(z) , що введенi ранiше I. В. Орловим i Божонок К. В. для одновимiрного випадку i вводиться поняття загальних класiв Вейерштрасса WnKp(z) над областю D ⊂ ℝn. Доведено, що належнiсть K-псевдополiномiального iнтегранта варiацiйного функцiоналу вiдповiдному класу Вейерштрасса WnKp(z) гарантує n–кратну K-диференцiйовнiсть даного варiацiйного фунцiонала в просторi Соболєва W1,p(D). Обчислена n-а K-варiацiя варiацiйного функцiоналу. Розглянуто ряд прикладiв i окремих випадкiв.
Ключовi слова: варiацiйний функционал, простiр Соболєва, компактно-аналiтичнi властивостi.
Бiблiогр. 10 назв.
MSC 2010: 49K05, 49K27
E. M. KUZMENKO. Compact-analytic properties of variational functionals in Sobolev spaces W1,p of functions of of several variables (Russian). Dinamicheskie Sistemy, vol. 2(30), no.1-2, 89–120 (2012).
We generalize the concepts of the Weierstrass classes WKp(z),W1Kp(z) and W2Kp(z), introduced earlier by Orlov I.V. and Bozhonok E.V. in one-dimensional case and introduce the concept of general Weierstrass classes WnKp(z) over the domain D ⊂ ℝn. It is proved that belonging of K-pseudopolynomial integrand of the variational functional to the suitable Weierstrass class WnKp(z) provides n-multiple K-differentiability of variational functional in Sobolev space W1,p. We calculate the nth K-variation of the given functional. Several examples and special cases are considered.
Keywords: variational functional, Sobolev space, compactly-analytical conditions.
